⏱️ Rituels de début d'heure⚓︎
Si tu as terminé avant la fin du chrono
Sur ton brouillon, note tout ce dont tu te souviens du chapitre précédent (définitions, méthodes, pièges à éviter). Ne regarde pas tes notes : ce qui compte, c'est ce que tu arrives à retrouver seul(e).
⏱️ Rituel 1⚓︎
Q1 Factoriser \(3x^2+21x-132\) en produit de facteurs de degré 1 sachant que \(4\) est une racine.
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\(3x^2+21x-132=(x-4)(3x+33)\).
Vérification par développement : \((x-4)(3x+33)=3x^2+33x-12x-132=3x^2+21x-132\).
Q2 Voici la courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur \([-6\,;\,5]\).
Résoudre l'inéquation \(f(x) \geqslant 3\).
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Graphiquement, la droite \(y=3\) coupe \(\mathscr{C}_f\) en \(x=-5\) et \(x=-2\), et la courbe est au-dessus de cette droite entre ces deux abscisses. \(\mathscr{S}=[-5\,;\,-2]\).
Q3 Donner la nature et le sens de variation de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)= -3x+10\).
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\(f\) est affine, \(m=-3<0\) : strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Q4 Donner l'ensemble de définition de la fonction définie par \(g(x)=\dfrac{1}{1-x}\) puis déterminer l'antécédent de \(-5\).
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\(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Antécédent de \(-5\) : \(\dfrac{1}{1-x}=-5 \iff x=\dfrac{6}{5}\).
⏱️ Rituel 2⚓︎
Q1 Ci-dessous la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-4\,;\,3]\).
Résoudre l'inéquation \(f(x) \geqslant 0\).
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\(f\) s'annule en \(x=-3\) et \(x=-1\), et est négative entre ces deux valeurs (elle passe par \((-2\,;\,-1)\)), positive ailleurs sur le domaine. \(\mathscr{S}=[-4\,;\,-3]\cup[-1\,;\,3]\).
Q2 Justifier que \(-6\) et \(11\) sont les racines de \(P(x)=-2x^2+10x+132\).
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Pour \(P(x)=-2x^2+10x+132\) : somme attendue \(-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{10}{-2}=5\) et produit attendu \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{132}{-2}=-66\).
Somme : \(-6+11=5\).
Produit : \(-6\times11=-66\).
Les deux coïncident : ce sont bien les racines de \(P\).
Q3 Donner la nature et dresser le tableau de signe de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)= -5x-1\).
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\(f\) est affine, \(m=-5<0\) : strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Zéro : \(-5x-1=0 \iff x=-\dfrac{1}{5}\).
Q4 Développer, simplifier et réduire l'expression \(10-(x-4)^2\).
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\(10-(x-4)^2 = 10-\left(x^2-8x+16\right) = -x^2+8x-6\).
⏱️ Rituel 3⚓︎
Q1 Dresser le tableau de signe de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) et représentée ci-dessous.
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Q2 On a représenté ci-dessous la parabole d'équation \(y=x^2\).
Résoudre l'inéquation \(x^2\geqslant 5\).
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\(\mathscr{S}=\;]-\infty\,;-\sqrt{5}]\cup[\sqrt{5}\,;+\infty[\).
Q3 Factoriser \(3x^2+21x-132\) en produit de facteurs de degré 1 sachant que \(4\) est une racine.
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\(3x^2+21x-132=3(x-4)(x-r)\).
Par identification des coefficients extrêmes : coefficient dominant déjà \(3\) (correct) ; terme constant \(3\times(-4)\times(-r)=-132 \iff 12r=-132 \iff r=-11\).
Donc \(3x^2+21x-132=3(x-4)(x+11)\).
Q4 Dresser le tableau de signes de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{-4x-1}{2x+4}\).
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\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\) (dénominateur nul en \(-2\)).
\(-4x-1\) s'annule en \(-\dfrac14\) (positif avant, négatif après) ; \(2x+4\) s'annule en \(-2\) (négatif avant, positif après) :
⏱️ Rituel 4⚓︎
Q1 On donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) définie sur \([-4\,;\,3]\).
Résoudre l'inéquation \(f(x) \geqslant 0\).
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\(\mathscr{S}=[-4\,;\,-3]\cup[-1\,;\,3]\).
Q2 Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\dfrac{4}{3}(x-3)^2 - 2 = 1\).
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\(\dfrac{4}{3}(x-3)^2 - 2 = 1 \iff (x-3)^2 = \dfrac{9}{4} \iff x-3 = \pm\dfrac{3}{2}\).
Donc \(\mathscr{S}=\left\{ \dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{9}{2} \right\}\).
Q3 Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-x+5\). Simplifier \(f(3x+1)\).
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Q4 Déterminer la forme canonique du polynôme \(P(x)=x^{2}-5x+1\). Est-il factorisable ?
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\(P(x)=x^2-5x+1 = \left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{25}{4}+1 = \left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}\).
Comme \(\Delta = 21 >0\), \(P\) possède deux racines réelles \(x=\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\) et \(x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}\) : \(P\) est donc factorisable, \(P(x)=\left(x-\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}\right)\).
⏱️ Rituel 5⚓︎
Q1 Sur la figure ci-dessous, \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) représentent les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([-2\,;\,3]\).
Donner l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x)\leqslant g(x)\).
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Les courbes se coupent en \(x=-1\), \(x=1\) et \(x=2\). Aux bornes, \(f(-2)=2>g(-2)=-2\) et \(f(3)=\dfrac{1}{3}\lt g(3)=3\) : \(\mathcal{C}_f\) est en-dessous de \(\mathcal{C}_g\) sur \([-1\,;\,1]\cup[2\,;\,3]\). \(\mathscr{S}=[-1\,;\,1]\cup[2\,;\,3]\).
Q2 Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \((2x-1)(3x+5)=1\).
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\((2x-1)(3x+5)=1 \iff 6x^2+7x-5=1 \iff 6x^2+7x-6=0\).
\(\Delta = 7^2-4\times6\times(-6) = 49+144=193\).
\(\mathscr{S}=\left\{ \dfrac{-7-\sqrt{193}}{12}\,;\,\dfrac{-7+\sqrt{193}}{12} \right\}\).
Q3 Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\colon x\mapsto \sqrt{-7x+6}\).
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Il faut \(-7x+6\geqslant 0 \iff x\leqslant \dfrac{6}{7}\).
\(D_f=\;]-\infty\,;\dfrac{6}{7}]\).
Q4 Déterminer \(x\) pour que le triangle \(ABC\), tel que \(AB=x+9\), \(AC=x+1\) et \(BC=x\), soit rectangle en \(C\).
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Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) lorsque \(AB^2=AC^2+BC^2\), soit :
Les solutions de cette équation du second degré sont \(x=-4\) et \(x=20\).
\(-4\) n'est pas une solution admissible, car cela donnerait \(BC=-4<0\).
\(\therefore x=20\).
⏱️ Rituel 6⚓︎
Q1 Factoriser \(P(x)=6x^2-36x+30\) sachant que \(1\) et \(5\) sont les racines.
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Q2 Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\colon x\mapsto \sqrt{x^2-7x+6}\).
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Il faut \(x^2-7x+6\geqslant 0\). Racines (somme \(=7\), produit \(=6\)) : \(1\) et \(6\), donc \(x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\), positif à l'extérieur des racines (\(a=1>0\)).
\(D_f=\;]-\infty\,;1]\cup[6\,;+\infty[\).
Q3 Déterminer la forme canonique du polynôme \(P(x)=x^2+6x-2\). En déduire les variations de \(P\).
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\(P(x)=x^2+6x-2 = (x+3)^2-9-2=(x+3)^2-11\).
Comme \(a=1>0\), \(P\) est décroissante sur \(\;]-\infty\,;-3]\) et croissante sur \([-3\,;+\infty[\), avec un minimum \(P(-3)=-11\).
Q4 Résoudre pour \(a\) l'équation \(2u=3a^2+za^2\).
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On factorise par \(a^2\) : \(2u=3a^2+za^2=a^2(3+z)\).
Si \(z\neq -3\), \(a^2=\dfrac{2u}{3+z}\), d'où \(a=\pm\sqrt{\dfrac{2u}{3+z}}\) (à condition que \(\dfrac{2u}{3+z}\geqslant 0\)).