⏱️ Rituels de début d'heure⚓︎
Si tu as terminé avant la fin du chrono
Sur ton brouillon, note tout ce dont tu te souviens du chapitre précédent (définitions, méthodes, pièges à éviter). Ne regarde pas tes notes : ce qui compte, c'est ce que tu arrives à retrouver seul(e).
⏱️ Rituel 1⚓︎
Q1 Résoudre l'équation \(x^2-13x+42=0\).
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Le discriminant de \(x^2-13x+42\) vaut \(\Delta=(-13)^2-4\times42=169-168=1>0\), d'où deux solutions \(x_1=\dfrac{13-1}{2}=6\) et \(x_2=\dfrac{13+1}{2}=7\).
\(\therefore \mathscr{S}=\{6\,;\,7\}\).
Q2 Dériver la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=e^{2x-1}\).
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\(f=e^u\) avec \(u(x)=2x-1\), donc \(u'(x)=2\).
\(f'=u'e^u\) d'où \(f'(x)=2e^{2x-1}\).
Q3 Pour \(n\in\mathbb{N}\), montrer que \(\dfrac{\dfrac{n+5}{2n+1}-\dfrac{n+6}{2n+3}}{\dfrac{3}{2n+3}}=\dfrac{3}{2n+1}\).
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\(\dfrac{n+5}{2n+1}-\dfrac{n+6}{2n+3}=\dfrac{(n+5)(2n+3)-(n+6)(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{9}{(2n+1)(2n+3)}\) (même dénominateur).
\(\dfrac{\dfrac{n+5}{2n+1}-\dfrac{n+6}{2n+3}}{\dfrac{3}{2n+3}}=\dfrac{9}{(2n+1)(2n+3)}\times\dfrac{2n+3}{3}=\dfrac{3}{2n+1}\) (on multiplie par l'inverse, puis on simplifie).
Q4 Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\geqslant 0\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+1\). Montrer par récurrence que pour tout \(n\geqslant 0\), \(u_n=3-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\). Vous écrirez uniquement l'étape d'hérédité.
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Soit \(k\geqslant 0\) quelconque. Supposons que \(u_k=3-3\left(\dfrac23\right)^k\) (hypothèse de récurrence).
\(u_{k+1}=\dfrac23u_k+1=\dfrac23\left[3-3\left(\dfrac23\right)^k\right]+1=2-3\left(\dfrac23\right)^{k+1}+1=3-3\left(\dfrac23\right)^{k+1}\).
La propriété est donc vraie au rang \(k+1\).
⏱️ Rituel 2⚓︎
Q1 Un élevage compte 5 000 poissons. La population s'accroît de 8 % par mois, et à la fin d'un mois on prélève 300 poissons. On note \(P_n\) la population de poissons après \(n\) mois. Déterminer la relation de récurrence vérifiée par \(P_n\).
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La population croît de \(8\,\%\) par mois, donc elle est multipliée par \(1+0{,}08=1{,}08\), puis on prélève \(300\) poissons : \(P_{n+1}=1{,}08\,P_n-300\).
Q2 Dériver la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\) par \(f(x)=\dfrac{x+1}{2x-1}\).
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\(f=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=x+1\) et \(v(x)=2x-1\), donc \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=2\).
\(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) d'où \(f'(x)=\dfrac{(2x-1)-2(x+1)}{(2x-1)^2}=\dfrac{-3}{(2x-1)^2}\).
Q3 Résoudre l'inéquation \(6x^2-x-1<0\).
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Le discriminant de \(6x^2-x-1\) vaut \(\Delta=(-1)^2-4\times6\times(-1)=1+24=25=5^2>0\), d'où deux solutions \(x_1=\dfrac{1-5}{12}=-\dfrac13\) et \(x_2=\dfrac{1+5}{12}=\dfrac12\).
Comme le coefficient dominant \(6>0\), le trinôme est négatif entre ses racines : \(\therefore \mathscr{S}=\;]-\dfrac13\,;\dfrac12[\).
Q4 Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n\geqslant 0\) par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3}{5}u_n+2\). Montrer par récurrence que pour tout \(n\geqslant 0\), \(u_n=5-4\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\). Vous écrirez uniquement l'étape d'hérédité.
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Soit \(k\geqslant 0\) quelconque. Supposons que \(u_k=5-4\left(\dfrac35\right)^k\) (hypothèse de récurrence).
\(u_{k+1}=\dfrac35 u_k+2=\dfrac35\left[5-4\left(\dfrac35\right)^k\right]+2=3-4\left(\dfrac35\right)^{k+1}+2=5-4\left(\dfrac35\right)^{k+1}\).
La propriété est donc vraie au rang \(k+1\).
⏱️ Rituel 3⚓︎
Q1 Montrer que la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=2-(0{,}95)^n\) est croissante.
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\(u_{n+1}-u_n=\left[2-0{,}95^{n+1}\right]-\left[2-0{,}95^n\right]=0{,}95^n-0{,}95^{n+1}=0{,}95^n\left(1-0{,}95\right)=0{,}05\times0{,}95^n\geqslant0\).
Donc \((u_n)\) est croissante.
Q2 Dériver la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x\,e^{-x}\).
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\(f=uv\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^{-x}\), donc \(u'(x)=1\) et \(v'(x)=-e^{-x}\).
\(f'=u'v+uv'\) d'où \(f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}\).
Q3 2026 Centres Étrangers J1 — Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_1=1\) et pour tout \(n\geqslant 1\) : \(u_{n+1}=u_n+2n+1\). Montrer que pour tout entier \(n\geqslant 1\), on a \(u_n=n^2\). Vous écrirez uniquement l'étape d'hérédité.
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Soit \(k\geqslant 1\) quelconque. Supposons que \(u_k=k^2\) (hypothèse de récurrence).
\(u_{k+1}=u_k+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2\).
La propriété est donc vraie au rang \(k+1\).
Q4 Résoudre l'inéquation \(|x-3|<0{,}1\).
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On cherche les réels \(x\) dont la distance à \(3\) est strictement inférieure à \(0{,}1\).
\(\therefore |x-3|<0{,}1 \iff x\in\;]2{,}9\,;3{,}1[\).
⏱️ Rituel 4⚓︎
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\geqslant 0\) par \(u_n=3^{-n}\). Soit la suite \(S_n=u_0+u_1+\ldots+u_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n u_i\).
Q1 Déterminer la raison et le sens de variation de la suite \((u_n)\).
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\((u_n)\) est géométrique de raison \(q=\dfrac13\in\;]0\,;1[\) et de premier terme \(u_0=1>0\), donc \((u_n)\) est strictement décroissante.
Q2 Justifier que la suite \(S_n\) est strictement croissante.
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Pour tout entier naturel \(n\), \(S_{n+1}-S_n=u_{n+1}=3^{-(n+1)}>0\), donc \((S_n)\) est strictement croissante.
Q3 Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\).
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\((u_n)\) est géométrique de raison \(q=\dfrac13\) et de premier terme \(u_0=1\), donc :
\(S_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n u_i=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}=\dfrac32\left[1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right]\).
Q4 Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\).
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Comme \(0<\dfrac13<1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac13\right)^{n+1}=0\). Par somme puis produit des limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac32\).
⏱️ Rituel 5⚓︎
Q1 Représenter sur l'axe des abscisses les 5 premiers termes de la suite \(u_0=6\) et \(\forall n\geqslant 0\) : \(u_{n+1}=\dfrac13 u_n+2\).
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Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+2\), d'où \(u_0=6\), \(u_1=4\), \(u_2=\dfrac{10}{3}\), \(u_3=\dfrac{28}{9}\), \(u_4=\dfrac{82}{27}\) :
Q2 Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(2x^2+7x+6>0\).
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Le discriminant de \(2x^2+7x+6\) vaut \(\Delta=7^2-4\times2\times6=49-48=1>0\), d'où deux solutions \(x_1=\dfrac{-7-1}{4}=-2\) et \(x_2=\dfrac{-7+1}{4}=-\dfrac32\).
Comme le coefficient dominant \(2>0\), le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines : \(\therefore \mathscr{S}=\;]-\infty\,;-2[\,\cup\,]-\dfrac32\,;+\infty[\).
Q3 Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=5\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}\). Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant 1\) et que \((u_n)\) est décroissante.
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(Initialisation) \(u_0=5\geqslant 1\).
(Hérédité) Soit \(k\geqslant 0\) quelconque. Supposons que \(u_k\geqslant 1\). Alors \(2u_k-1\geqslant 1>0\), donc \(u_{k+1}=\sqrt{2u_k-1}\geqslant\sqrt1=1\). La propriété est vraie au rang \(k+1\).
(Conclusion) Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant 1\).
Pour tout entier naturel \(n\), comme \(u_n\geqslant 1\), on a \((u_n-1)^2\geqslant 0\), i.e. \(u_n^2-2u_n+1\geqslant0\), i.e. \(u_n^2\geqslant 2u_n-1\). Comme \(u_n\geqslant 1>0\) et \(2u_n-1\geqslant0\), on en déduit \(u_n\geqslant\sqrt{2u_n-1}=u_{n+1}\). Donc \((u_n)\) est décroissante.
Q4 \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=-4\) et de premier terme \(u_0=7\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{10}\).
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Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=u_0+nr=7-4n\). En particulier, \(u_{10}=7-40=-33\).
⏱️ Rituel 6⚓︎
Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=-1\) et pour tout \(n\geqslant 0\) : \(u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac34\). Soit la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n-\dfrac35\).
Q1 Donner la valeur de \(v_0\).
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\(v_0=u_0-\dfrac35=-1-\dfrac35=-\dfrac85\).
Q2 Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(-\dfrac14\).
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Pour tout entier naturel \(n\) :
\(v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac35=-\dfrac14u_n+\dfrac34-\dfrac35=-\dfrac14u_n+\dfrac{3}{20}=-\dfrac14\left(u_n-\dfrac35\right)=-\dfrac14v_n\).
\((v_n)\) est donc géométrique de raison \(-\dfrac14\).
Q3 Montrer que \(u_n=-\dfrac85\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n+\dfrac35\).
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Pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0\times\left(-\dfrac14\right)^n=-\dfrac85\left(-\dfrac14\right)^n\). Comme \(u_n=v_n+\dfrac35\), on en déduit \(u_n=-\dfrac85\left(-\dfrac14\right)^n+\dfrac35\).
Q4 Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
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Comme \(\left|-\dfrac14\right|<1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac14\right)^n=0\). Par somme des limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac35\).
⏱️ Rituel 7⚓︎
Q1 Résoudre l'inéquation \(2x^2+5x-3\leqslant 0\).
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Le discriminant de \(2x^2+5x-3\) vaut \(\Delta=5^2-4\times2\times(-3)=25+24=49>0\), d'où deux solutions \(x_1=\dfrac{-5-7}{4}=-3\) et \(x_2=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac12\).
Comme le coefficient dominant \(2>0\), le trinôme est négatif entre ses racines : \(\therefore \mathscr{S}=\left[-3\,;\dfrac12\right]\).
Q2 On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-3\). À l'aide des opérations sur les limites, à quoi est égale \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}\) ?
a. \(-\infty\) b. \(-3\) c. \(+\infty\) d. \(0\)
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Réponse c. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-3<0\), donc par quotient des limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=+\infty\).
Q3 Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\).
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\(f=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=e^x\), \(u'(x)=e^x\), \(v(x)=x\), \(v'(x)=1\), donc \(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) d'où \(f'(x)=\dfrac{xe^x-e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\).
Q4 Vrai ou faux ? Si une suite \((u_n)\) est bornée, alors elle converge. Justifier, en proposant un contre-exemple si l'affirmation est fausse.
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Faux. Contre-exemple : la suite définie par \(u_n=(-1)^n\) est bornée (elle ne prend que les valeurs \(-1\) et \(1\)), mais elle n'a pas de limite : elle n'est pas convergente.
⏱️ Rituel 8⚓︎
Q1 Représenter sur l'axe des abscisses les 5 premiers termes de la suite \(u_0=1\) et \(\forall n\geqslant 0\) : \(u_{n+1}=-\dfrac{2}{3}u_n+5\), et conjecturer son sens de variation et sa limite \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}u_n\).
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\(u_0=1\), \(u_1=-\dfrac23+5=\dfrac{13}{3}\approx4{,}33\), \(u_2=-\dfrac23\times\dfrac{13}{3}+5=\dfrac{19}{9}\approx2{,}11\), \(u_3=-\dfrac23\times\dfrac{19}{9}+5=\dfrac{97}{27}\approx3{,}59\), \(u_4=-\dfrac23\times\dfrac{97}{27}+5=\dfrac{211}{81}\approx2{,}60\).
Les termes oscillent alternativement au-dessus et en dessous de \(3\) en s'en rapprochant : \((u_n)\) n'est pas monotone, mais semble converger vers \(\ell=3\).
Q2 Résoudre l'inéquation \(|2x-1|<3\).
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\(|2x-1|<3 \iff -3<2x-1<3 \iff -2<2x<4 \iff -1<x<2\). \(\therefore \mathscr{S}=\;]-1\,;2[\).
Q3 On admet que la suite \((u_n)\) de la question 1 converge vers un réel \(\ell\). Déterminer la valeur de \(\ell\) à l'aide d'un passage à la limite.
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Par passage à la limite dans \(u_{n+1}=-\dfrac23u_n+5\), \(\ell\) vérifie \(\ell=-\dfrac23\ell+5\), i.e. \(\dfrac53\ell=5\), d'où \(\ell=3\).
Q4 D'après 2021 Polynésie J2 — Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=10\,000\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}95\,u_n+200\). Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant4\,000\).
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(Initialisation) \(u_0=10\,000\geqslant4\,000\).
(Hérédité) Soit \(k\geqslant0\) quelconque. Supposons que \(u_k\geqslant4\,000\). Alors \(0{,}95\,u_k\geqslant3\,800\), donc \(u_{k+1}=0{,}95\,u_k+200\geqslant3\,800+200=4\,000\). La propriété est donc vraie au rang \(k+1\).
(Conclusion) Pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geqslant4\,000\).
⏱️ Rituel 9⚓︎
Q1 Dériver la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(x+1)e^{3x+1}\).
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\(f'=u'v+uv'\) avec \(u(x)=x+1\), \(u'(x)=1\), \(v(x)=e^{3x+1}\), \(v'(x)=3e^{3x+1}\) (car \(v=e^{w}\) avec \(w(x)=3x+1\), \(w'(x)=3\)), donc \(f'(x)=e^{3x+1}+(x+1)\times3e^{3x+1}=(3x+4)e^{3x+1}\).
Q2 Résoudre l'inéquation \(x^2-2x-8>0\).
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Le discriminant de \(x^2-2x-8\) vaut \(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0\), d'où deux solutions \(x_1=\dfrac{2-6}{2}=-2\) et \(x_2=\dfrac{2+6}{2}=4\).
Comme le coefficient dominant \(1>0\), le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines : \(\therefore \mathscr{S}=\;]-\infty\,;-2[\,\cup\,]4\,;+\infty[\).
Q3 Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n+1}{n+3}\).
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Pour tout \(n\geqslant1\), \(\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}\). Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=\lim_{n\to+\infty}\dfrac3n=0\), par quotient des limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac21=2\).
Q4 Soit \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\). Étudier le sens de variation de \((u_n)\) en étudiant le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
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Pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0\).
Donc \((u_n)\) est strictement croissante.
⏱️ Rituel 10⚓︎
Q1 Dériver la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=(3x+1)e^{-x}\).
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\(f'=u'v+uv'\) avec \(u(x)=3x+1\), \(u'(x)=3\), \(v(x)=e^{-x}\), \(v'(x)=-e^{-x}\), donc \(f'(x)=3e^{-x}+(3x+1)\times(-e^{-x})=e^{-x}\left[3-(3x+1)\right]=(2-3x)e^{-x}\).
Q2 Simplifier \(\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}-2}\).
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Pour \(x\neq0\) et \(x\neq\dfrac12\), \(\dfrac{1+\frac1x}{\frac1x-2}=\dfrac{\frac{x+1}{x}}{\frac{1-2x}{x}}=\dfrac{x+1}{x}\times\dfrac{x}{1-2x}=\dfrac{x+1}{1-2x}\).
Q3 Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=4\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n-4\). On pose \(v_n=u_n-2\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
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Pour tout entier naturel \(n\) : \(v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n-4-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n\).
\((v_n)\) est donc géométrique de raison \(3\), de premier terme \(v_0=u_0-2=2\).
Q4 On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty\). À l'aide des opérations sur les limites, à quoi est égale \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_n+v_n)\) ?
a. Forme indéterminée b. \(0\) c. \(1\) d. \(-\infty\)
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Réponse a. \(u_n\to+\infty\) et \(v_n\to-\infty\) : c'est une forme indéterminée du type « \(\infty-\infty\) », les théorèmes sur les opérations ne permettent pas de conclure directement sur \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_n+v_n)\).
Par exemple, avec \(u_n=n+5\) et \(v_n=-n\) la somme vaut \(5\), alors qu'avec \(u_n=2n\) et \(v_n=-n\) elle tend vers \(+\infty\).
⏱️ Rituel 11⚓︎
Q1 Soit \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\geqslant1\) par \(u_n=\dfrac{\sin(n)}{n}\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(0\) à l'aide du théorème d'encadrement.
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Pour tout entier naturel \(n\geqslant1\), \(-1\leqslant\sin(n)\leqslant1\), donc \(-\dfrac1n\leqslant u_n\leqslant\dfrac1n\). Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=\lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac1n\right)=0\), par le théorème d'encadrement (des gendarmes), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).
Q2 Dériver la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x-1)e^{2x}\).
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\(f'=u'v+uv'\) avec \(u(x)=x-1\), \(u'(x)=1\), \(v(x)=e^{2x}\), \(v'(x)=2e^{2x}\), donc \(f'(x)=e^{2x}+(x-1)\times2e^{2x}=e^{2x}\left[1+2(x-1)\right]=(2x-1)e^{2x}\).
Q3 \((u_n)\) est la suite définie pour tout \(n\geqslant 0\) par \(u_n=3^n\). Exprimer \(S_n=u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n u_i\) en fonction de \(n\).
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\((u_i)\) est géométrique de raison \(q=3\) et de premier terme \(u_0=1\), donc \(S_n=\displaystyle\sum_{i=0}^n u_i=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}\).
Q4 Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n-2n+1\). On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=u_n-n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
Voir le corrigé
Pour tout entier naturel \(n\) : \(v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=3u_n-2n+1-n-1=3u_n-3n=3(u_n-n)=3v_n\).
\((v_n)\) est donc géométrique de raison \(3\), de premier terme \(v_0=u_0-0=2\).
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=2\times3^n\), et comme \(u_n=v_n+n\) : \(u_n=2\times3^n+n\).
⏱️ Rituel 12⚓︎
Q1 Dériver la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\exp(x^2-1)\).
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\(f=2e^u\) avec \(u(x)=x^2-1\), \(u'(x)=2x\), donc \(f'=2u'e^u\) d'où \(f'(x)=2\times2x\times e^{x^2-1}=4x\,e^{x^2-1}\).
Q2 2022 Nouvelle-Calédonie J2 — On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\). Montrer que \((u_n)\) converge.
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Pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leqslant(-1)^n\leqslant 1\), donc \(-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{n+1}\). Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=\lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}\right)=0\), par le théorème d'encadrement (des gendarmes), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\) : \((u_n)\) converge.
Q3 On considère deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) telles que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=0^+\). À l'aide des opérations sur les limites, à quoi est égale \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}\) ?
A. \(0\) B. \(+\infty\) C. \(1\) D. \(-\infty\)
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\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=0^+\), donc par quotient des limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=-\infty\). Réponse D.
Q4 Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+3}\). On admet que \(u_n>0\) pour tout \(n\). On pose pour tout \(n\geqslant 0\), \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \(v_{n+1}=3v_n+2\), puis que la suite \((w_n)\) définie par \(w_n=v_n+1\) est géométrique.
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Pour tout entier naturel \(n\) : \(v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{2u_n+3}{u_n}=2+\dfrac{3}{u_n}=3v_n+2\).
Alors \(w_{n+1}=v_{n+1}+1=3v_n+3=3(v_n+1)=3w_n\).
\((w_n)\) est donc géométrique de raison \(3\), de premier terme \(w_0=\dfrac{1}{u_0}+1=2\).
⏱️ Rituel 13⚓︎
Soit \((u_k)\) définie pour tout entier naturel \(k\) par \(u_k=\left(\dfrac12\right)^k\). Soit \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac{1}{2^n}\).
Q1 Dériver la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\dfrac{1}{1+e^{2x-1}}\).
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\(f=v^{-1}\) avec \(v(x)=1+e^{2x-1}\), \(v'(x)=2e^{2x-1}\) (car \(v=1+e^w\) avec \(w(x)=2x-1\), \(w'(x)=2\)), donc \(f'=-\dfrac{v'}{v^2}\) d'où \(f'(x)=\dfrac{-2e^{2x-1}}{\left(1+e^{2x-1}\right)^2}\).
Q2 Exprimer \(S_n\) en fonction de \(n\).
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\((u_k)\) est géométrique de raison \(q=\dfrac12\) et de premier terme \(u_0=1\), donc \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n u_k=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=2\left[1-\left(\dfrac12\right)^{n+1}\right]\).
Q3 Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\).
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Comme \(0<\dfrac12<1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac12\right)^{n+1}=0\). Par différence puis produit des limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=2\).
Q4 Soit \((v_n)\) définie par \(v_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}=v_n^2+1\). Montrer par l'absurde que \((v_n)\) ne peut pas converger vers un réel.
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Supposons par l'absurde que \((v_n)\) converge vers un réel \(\ell\).
Alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_{n+1}=\ell\) et, par opérations sur les limites, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(v_n^2+1\right)=\ell^2+1\).
Par unicité de la limite, \(\ell=\ell^2+1\), i.e. \(\ell^2-\ell+1=0\). Le discriminant vaut \(\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=-3<0\) : cette équation n'a pas de solution réelle. Contradiction.
\(\therefore\) \((v_n)\) ne converge pas vers un réel.