⏱️ Rituels de début d'heure⚓︎
Si tu as terminé avant la fin du chrono
Sur ton brouillon, note tout ce dont tu te souviens du chapitre précédent (définitions, méthodes, pièges à éviter). Ne regarde pas tes notes : ce qui compte, c'est ce que tu arrives à retrouver seul(e).
⏱️ Rituel 1⚓︎
Q1 Calculer et simplifier :
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Même dénominateur \(6\) : \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\).
Donc \(\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{5\times3}{6\times4}=\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}\) (en simplifiant par \(3\)).
Q2 Réduire l'expression \(5x-4(x+3)\).
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\(5x-4(x+3)=5x-4x-12=x-12\).
Q3 Factoriser \(x^2-25\).
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On reconnaît une différence de carrés : \(x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5)\).
Q4 On donne les ensembles \(A=\{c\,;\,f\,;\,p\,;\,q\,;\,v\}\) et \(B=\{e\,;\,p\,;\,r\,;\,s\}\). Déterminer \(A\cap B\) et \(A\cup B\).
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\(A\cap B=\{p\}\) (le seul élément commun aux deux ensembles). \(A\cup B=\{c\,;\,e\,;\,f\,;\,p\,;\,q\,;\,r\,;\,s\,;\,v\}\) (tous les éléments présents dans l'un ou l'autre, sans répétition).
⏱️ Rituel 2⚓︎
Q1 Calculer et donner le résultat sous forme de fraction :
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\(2+\dfrac{1}{6}=\dfrac{13}{6}\), donc \(A=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{13}{6}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{13}{24}\).
Même dénominateur \(24\) : \(A=\dfrac{36}{24}-\dfrac{13}{24}=\dfrac{23}{24}\).
Q2 Que vaut \(40\,\%\) de \(45\) ?
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\(40\,\%\times45=\dfrac{4}{10}\times45=\dfrac{2}{5}\times45=2\times9=18\).
Q3 Donner l'écriture scientifique du nombre \(456,75\times10^{-5}\).
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\(456,75\times10^{-5}=4,5675\times10^{2}\times10^{-5}=4,5675\times10^{-3}\).
Q4 Compléter chaque pointillé par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
a. \(\dfrac{245}{10}\;\ldots\;\mathbb{N}\)
b. \(12,5-1,5\;\ldots\;\mathbb{N}^*\)
c. \(3,2\;\ldots\;\mathbb{Z}\)
d. \(-\dfrac{20}{4}\;\ldots\;\mathbb{Z}^*\)
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a. \(\dfrac{245}{10}=24,5\notin\mathbb{N}\)
b. \(12,5-1,5=11\in\mathbb{N}^*\)
c. \(3,2\notin\mathbb{Z}\)
d. \(-\dfrac{20}{4}=-5\in\mathbb{Z}^*\)
⏱️ Rituel 3⚓︎
Q1 Résoudre l'équation \(3x+2=7\).
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\(3x+2=7\iff 3x=5\iff x=\dfrac{5}{3}\).
Q2 Simplifier \(\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)\div\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)\).
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\(\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)\div\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right)=\left(\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}\right)\div\left(\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{6}\div\dfrac{3}{6}\).
\(\dfrac{1}{6}\div\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{6}{3}=\dfrac{1}{3}\).
Q3 Développer \((a+2b)(a-b)\).
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\((a+2b)(a-b)=a^2-ab+2ab-2b^2=a^2+ab-2b^2\).
Q4 Compléter chaque pointillé par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
a. \(\{-3\,;\,0\,;\,5\}\;\ldots\;\mathbb{N}\)
b. \(\left\{\dfrac{10}{2}\,;\,\sqrt{9}\right\}\;\ldots\;\mathbb{Z}\)
c. \(2-\sqrt{100}\;\ldots\;\mathbb{Z}^*\)
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a. \(\{-3\,;\,0\,;\,5\}\not\subset\mathbb{N}\) (car \(-3\notin\mathbb{N}\))
b. \(\dfrac{10}{2}=5\) et \(\sqrt{9}=3\), donc \(\left\{\dfrac{10}{2}\,;\,\sqrt{9}\right\}=\{5\,;\,3\}\subset\mathbb{Z}\)
c. \(2-\sqrt{100}=2-10=-8\in\mathbb{Z}^*\)
⏱️ Rituel 4⚓︎
Q1 Résoudre l'équation \(4x+3=3x\).
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\(4x+3=3x\iff 4x-3x=-3\iff x=-3\).
Q2 Simplifier \(B=\dfrac{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{5}}{\dfrac{19}{10}}\).
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\(\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{45}{20}+\dfrac{12}{20}=\dfrac{57}{20}\), donc \(B=\dfrac{\dfrac{57}{20}}{\dfrac{19}{10}}\).
\(B=\dfrac{57}{20}\times\dfrac{10}{19}=\dfrac{570}{380}=\dfrac{3}{2}\).
Q3 Développer et réduire \((5x-2)(3x-4)\).
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\((5x-2)(3x-4)=15x^2-20x-6x+8=15x^2-26x+8\).
Q4 Compléter chaque pointillé par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
a. \(\dfrac{\sqrt{25}}{2}\;\ldots\;\mathbb{N}\)
b. \(\sqrt{4}-\sqrt{16}+\sqrt{9}\;\ldots\;\mathbb{N}^*\)
c. \(-\dfrac{\sqrt{64}}{4}\;\ldots\;\mathbb{Z}^*\)
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a. \(\dfrac{\sqrt{25}}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5\notin\mathbb{N}\)
b. \(\sqrt{4}-\sqrt{16}+\sqrt{9}=2-4+3=1\in\mathbb{N}^*\)
c. \(-\dfrac{\sqrt{64}}{4}=-\dfrac{8}{4}=-2\in\mathbb{Z}^*\)
⏱️ Rituel 5⚓︎
Q1 Simplifier \(A=5+\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{12}{5}-\dfrac{7}{3}\right)\).
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\(5+\dfrac{3}{4}=\dfrac{23}{4}\) et \(\dfrac{12}{5}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{36}{15}-\dfrac{35}{15}=\dfrac{1}{15}\), donc \(A=\dfrac{23}{4}-\dfrac{1}{15}\).
Même dénominateur \(60\) : \(A=\dfrac{23\times15}{60}-\dfrac{1\times4}{60}=\dfrac{345-4}{60}=\dfrac{341}{60}\).
Q2 Donner l'écriture scientifique de \(B=\dfrac{8\times10^{-6}}{2\times10^{3}}\).
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\(B=\dfrac{8}{2}\times10^{-6-3}=4\times10^{-9}\).
Q3 Compléter chaque pointillé par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
a. \(\dfrac{6-(-5)+1}{(-8)/2}\;\ldots\;\mathbb{Z}\)
b. \(\mathbb{N}\;\ldots\;\mathbb{Z}\)
c. \(\pi\;\ldots\;\mathbb{R}\)
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a. \(\dfrac{6-(-5)+1}{(-8)/2}=\dfrac{12}{-4}=-3\in\mathbb{Z}\)
b. \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\)
c. \(\pi\in\mathbb{R}\)
Q4 On donne ci-dessous un diagramme représentant l'univers \(\mathcal{U}\) et deux parties \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{U}\) :
Déterminer \(\overline{A}\) et \(\overline{A}\cap\overline{B}\).
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En lisant le diagramme : \(A=\{1\,;\,3\,;\,6\}\) et \(B=\{1\,;\,3\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}\), dans \(\mathcal{U}=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}\).
\(\overline{A}=\{2\,;\,4\,;\,5\,;\,7\,;\,8\}\) (tout ce qui n'est pas dans \(A\)).
\(\overline{A}\cap\overline{B}\) est la zone extérieure aux deux cercles : \(\overline{A}\cap\overline{B}=\{2\,;\,4\}\).
⏱️ Rituel 6⚓︎
Q1 Développer et réduire l'expression \(B(x)=-2x+(-5x+2)(-1-x)\).
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\((-5x+2)(-1-x)=5x+5x^2-2-2x=5x^2+3x-2\), donc \(B(x)=-2x+5x^2+3x-2=5x^2+x-2\).
Q2 Résoudre l'équation \(2(x+3)-5=6\).
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\(2(x+3)-5=6\iff 2x+6-5=6\iff 2x+1=6\iff 2x=5\iff x=\dfrac{5}{2}\).
Q3 Donner un ordre de grandeur de \(501\times19\,999\).
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\(501\approx5\times10^{2}\) et \(19\,999\approx2\times10^{4}\), donc \(501\times19\,999\approx10\times10^{6}=10^{7}\).
Q4 Calculer \(15\,\%\times48\) €.
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\(15\,\%\times48=\dfrac{15}{100}\times48=\dfrac{3}{20}\times48=\dfrac{144}{20}=7,20\) €.
⏱️ Rituel 7⚓︎
Q1 Calculer \(A=\dfrac{1}{3}+2\times\dfrac{5}{6}\).
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\(A=\dfrac{1}{3}+2\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{6}{3}=2\).
Q2 Factoriser l'expression \(4x+9x^2\).
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\(4x+9x^2=x(4+9x)\).
Q3 Compléter chaque pointillé par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
a. \(3\;\ldots\;[-2\,;3[\)
b. \(-2\;\ldots\;[-1\,;3[\)
c. \([0\,;2]\;\ldots\;]0\,;4[\)
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a. \(3\notin[-2\,;3[\)
b. \(-2\notin[-1\,;3[\)
c. \([0\,;2]\not\subset\,]0\,;4[\)
Q4 On donne ci-dessous la courbe représentative \(\mathscr{C}_f\) d'une fonction \(f\) :
Déterminer, par lecture graphique, les images de \(0\) et de \(2\) par \(f\).
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D'après le graphique, \(f(0)=2\) et \(f(2)=2\).
⏱️ Rituel 8⚓︎
Q1 Simplifier \(A=\dfrac{4}{7}-\dfrac{5}{21}\).
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\(A=\dfrac{4}{7}-\dfrac{5}{21}=\dfrac{12}{21}-\dfrac{5}{21}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}\).
Q2 Résoudre l'équation \(-2x+5=7-6x\).
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\(-2x+5=7-6x\iff -2x+6x=7-5\iff 4x=2\iff x=\dfrac{1}{2}\).
Q3 Développer et réduire \(2(3x-1)-4(x+2)\).
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\(2(3x-1)-4(x+2)=6x-2-4x-8=2x-10\).
Q4 Convertir une aire de \(2500\) cm² en m².
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\(2500\) cm\(^2=\dfrac{2500}{10\,000}\) m\(^2=0,25\) m\(^2\).
⏱️ Rituel 9⚓︎
Q1 On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=-x^2-x^3\). Calculer l'image de \(-1\) par \(f\).
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\(f(-1)=-(-1)^2-(-1)^3=-1-(-1)=-1+1=0\).
Q2 Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble \(\{x\in\mathbb{R}\mid -6\leqslant x<-2\}\).
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\(\{x\in\mathbb{R}\mid -6\leqslant x<-2\}=[-6\,;-2[\) (borne fermée en \(-6\), ouverte en \(-2\)).
Q3 En roulant \(1\) h \(30\) à une vitesse de \(80\) km/h, quelle distance est parcourue ?
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\(1\) h \(30 = 1,5\) h, donc \(d=v\times t=80\times1,5=120\) km.
Q4 De quel nombre le quotient \(\dfrac{16205}{397}\) est-il le plus proche ?
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\(\dfrac{16205}{397}\approx\dfrac{16000}{400}=40\).
⏱️ Rituel 10⚓︎
Q1 Calculer \(A=(-2)^3\).
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\(A=(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8\).
Q2 Écrire sous forme d'intervalle les ensembles suivants :
a. \([3\,;+\infty[\,\cap\,[1\,;4]\)
b. \([-15\,;+\infty[\,\cup\,]-\infty\,;-10[\)
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a. \([3\,;+\infty[\,\cap\,[1\,;4]=[3\,;4]\)
b. \([-15\,;+\infty[\,\cup\,]-\infty\,;-10[=\mathbb{R}\)
Q3 Calculer \(|2-\pi|\).
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\(|2-\pi|=\pi-2\) (car \(2-\pi<0\)).
Q4 Calculer \(32\,\%\times110\).
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\(32\,\%\times110=\dfrac{32}{100}\times110=\dfrac{8}{25}\times110=\dfrac{880}{25}=35,2\).
⏱️ Rituel 11⚓︎
Q1 Simplifier et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :
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\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{10}{6}=-\dfrac{7}{6}\) et \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{10}{6}=\dfrac{13}{6}\).
Donc \(\dfrac{-\frac{7}{6}}{\frac{13}{6}}=-\dfrac{7}{6}\times\dfrac{6}{13}=-\dfrac{7}{13}\) (déjà irréductible).
Q2 Placer les nombres \(750\), \(754\), \(755\), \(756\), \(758\), \(759\) et \(760\) dans le diagramme de Venn ci-dessous, puis déterminer \(A\cup B\).
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\(750\) et \(756\) sont multiples de \(2\) et de \(3\) ; \(754\), \(758\), \(760\) seulement de \(2\) ; \(759\) seulement de \(3\) ; \(755\) d'aucun des deux.
\(A\cup B=\{750\,;\,754\,;\,756\,;\,758\,;\,759\,;\,760\}\) (tous les éléments placés, sauf \(755\)).
Q3 Écrire l'intervalle \([-20\,;5]\) sous la forme \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|\leqslant r\}\), où \(a\) et \(r\) sont des réels à déterminer.
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\(a\) est le centre de l'intervalle et \(r\) son rayon :
\(a=\dfrac{-20+5}{2}=-\dfrac{15}{2}\) et \(r=\dfrac{5-(-20)}{2}=\dfrac{25}{2}\).
Donc \([-20\,;5]=\left\{x\in\mathbb{R}\mid \left|x+\dfrac{15}{2}\right|\leqslant\dfrac{25}{2}\right\}\).
Q4 Réécrire la fraction \(\dfrac{2+5x}{-2}\) en éliminant le signe \(-\) au dénominateur.
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\(\dfrac{2+5x}{-2}=\dfrac{-(2+5x)}{2}=\dfrac{-2-5x}{2}=-\dfrac{5x+2}{2}\).
⏱️ Rituel 12⚓︎
Q1 Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x-1|\leqslant 0,1\}\).
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On cherche les réels dont la distance à \(1\) est inférieure ou égale à \(0,1\) : \(1-0,1\leqslant x\leqslant 1+0,1\).
Donc l'ensemble est \([0,9\,;1,1]\).
Q2 Réécrire en éliminant le signe \(-\) au dénominateur : \(\dfrac{5}{-x-2}\).
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\(\dfrac{5}{-x-2}=\dfrac{5}{-(x+2)}=-\dfrac{5}{x+2}\).
Q3 Écrire sous la forme \(ax+b\) l'expression \(2x+3-\dfrac{x+5}{3}\).
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\(2x+3-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{3(2x+3)}{3}-\dfrac{x+5}{3}=\dfrac{6x+9-x-5}{3}=\dfrac{5x+4}{3}=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{4}{3}\).
Q4 Écrire sous la forme d'une unique fraction l'expression \(\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x+4}\).
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\(\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x+4}=\dfrac{2(x+4)}{x(x+4)}-\dfrac{5x}{x(x+4)}=\dfrac{2x+8-5x}{x(x+4)}=\dfrac{8-3x}{x(x+4)}\).
⏱️ Rituel 13⚓︎
Q1 Factoriser \(3(5x-2)+5x(5x-2)\).
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Le facteur commun est \((5x-2)\) : \(3(5x-2)+5x(5x-2)=(5x-2)(3+5x)=(5x-2)(5x+3)\).
Q2 Compléter chaque pointillé par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
a. \(\dfrac{20}{4}\;\ldots\;\mathbb{N}\)
b. \(\mathbb{Q}\;\ldots\;\mathbb{Z}\)
c. \(\sqrt{36}\;\ldots\;\mathbb{N}\)
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a. \(\dfrac{20}{4}=5\in\mathbb{N}\)
b. \(\mathbb{Q}\not\subset\mathbb{Z}\) (par exemple \(\dfrac{1}{2}\in\mathbb{Q}\) mais \(\dfrac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\))
c. \(\sqrt{36}=6\in\mathbb{N}\)
Q3 Écrire sous la forme d'une unique fraction l'expression \(\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{5}{x+2}\).
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\(\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{5}{x+2}=\dfrac{3(x+2)}{(x-1)(x+2)}-\dfrac{5(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{3x+6-(5x-5)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{11-2x}{(x-1)(x+2)}\).
Q4 Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|\leqslant 3\}\).
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\(|x+1|\leqslant3\iff|x-(-1)|\leqslant3\) : on cherche les réels dont la distance à \(-1\) est inférieure ou égale à \(3\), c'est-à-dire \(-1-3\leqslant x\leqslant-1+3\).
Donc l'ensemble est \([-4\,;2]\).
⏱️ Rituel 14⚓︎
Q1 Donner l'écriture scientifique et un ordre de grandeur de \(0,00925\).
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\(0,00925=9,25\times10^{-3}\) : c'est l'écriture scientifique.
Comme \(9,25\) est plus proche de \(10\) que de \(1\), un ordre de grandeur est \(10\times10^{-3}=10^{-2}\).
Q2 Simplifier l'écriture \(2\left|\sqrt{10}-10\right|\).
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Comme \(\sqrt{10}<10\), on a \(\sqrt{10}-10<0\), donc \(\left|\sqrt{10}-10\right|=10-\sqrt{10}\).
Ainsi \(2\left|\sqrt{10}-10\right|=2(10-\sqrt{10})=20-2\sqrt{10}\).
Q3 Écrire l'intervalle \(\left[\dfrac{10}{3}\,;\dfrac{20}{3}\right]\) sous la forme \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|\leqslant r\}\), où \(a\) et \(r\) sont des réels à déterminer.
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\(a=\dfrac{\frac{10}{3}+\frac{20}{3}}{2}=\dfrac{10}{2}=5\) et \(r=\dfrac{\frac{20}{3}-\frac{10}{3}}{2}=\dfrac{5}{3}\).
Donc \(\left[\dfrac{10}{3}\,;\dfrac{20}{3}\right]=\left\{x\in\mathbb{R}\mid |x-5|\leqslant\dfrac{5}{3}\right\}\).
Q4 Justifier que \(\dfrac{3}{25}\) est un nombre décimal.
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\(\dfrac{3}{25}=\dfrac{3\times4}{25\times4}=\dfrac{12}{100}=0,12\) : c'est le quotient d'un entier par une puissance de \(10\), donc un nombre décimal.
⏱️ Rituel 15⚓︎
Q1 Exprimer en fonction de \(a\) « la somme du double de l'inverse de \(a\) et de \(5\) ».
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L'inverse de \(a\) est \(\dfrac{1}{a}\) (\(a\neq0\)), son double est \(2\times\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{a}\), d'où l'expression \(\dfrac{2}{a}+5\).
Q2 Calculer \(F=\dfrac{-a}{b-c}\) lorsque \(a=-4\), \(b=\dfrac{3}{4}\) et \(c=\dfrac{9}{8}\).
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\(b-c=\dfrac{6}{8}-\dfrac{9}{8}=-\dfrac{3}{8}\) et \(-a=4\).
\(F=\dfrac{4}{-\frac{3}{8}}=4\times\left(-\dfrac{8}{3}\right)=-\dfrac{32}{3}\).
Q3 Quel taux d'évolution est associé à une multiplication par \(1,15\) ?
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\(TE=CM-1=1,15-1=0,15=15\,\%\) : il s'agit d'une augmentation de \(15\,\%\).
Q4 Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x+3|\leqslant 2\}\).
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\(|x+3|\leqslant2\iff|x-(-3)|\leqslant2\) : distance à \(-3\) inférieure ou égale à \(2\), c'est-à-dire \(-3-2\leqslant x\leqslant-3+2\).
Donc l'ensemble est \([-5\,;-1]\).
⏱️ Rituel 16⚓︎
Q1 Simplifier \(\dfrac{3^2}{27}\).
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\(\dfrac{3^2}{27}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{9\times1}{9\times3}=\dfrac{1}{3}\).
Q2 Quel taux d'évolution est associé à une multiplication par \(0,85\) ?
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\(TE=CM-1=0,85-1=-0,15=-15\,\%\) : il s'agit d'une diminution de \(15\,\%\).
Q3 Résoudre l'équation \(7(x+3)=5x-9\).
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\(7(x+3)=5x-9\iff7x+21=5x-9\iff7x-5x=-9-21\iff2x=-30\iff x=-15\).
Donc \(\mathcal{S}=\{-15\}\).
Q4 Développer \((x+1)^2\).
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\((x+1)^2=x^2+2\times x\times1+1^2=x^2+2x+1\).
⏱️ Rituel 17⚓︎
Q1 Exprimer en fonction de \(a\) « le carré de la différence de \(a\) et \(2\) ».
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La différence de \(a\) et \(2\) est \(a-2\), son carré est \((a-2)^2\).
Q2 Calculer \(F=\dfrac{a}{b}+3\) lorsque \(a=\dfrac{5}{12}\) et \(b=\dfrac{10}{24}\).
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\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{12}\div\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}\times\dfrac{24}{10}=\dfrac{120}{120}=1\), donc \(F=1+3=4\).
Q3 Développer \((x-1)^2\).
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\((x-1)^2=x^2-2\times x\times1+1^2=x^2-2x+1\).
Q4 Écrire sous la forme d'une unique fraction l'expression \(A=\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{6}{x}\) (\(x\neq2\), \(x\neq0\)).
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\(A=\dfrac{5x}{(x-2)x}-\dfrac{6(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{5x-6x+12}{(x-2)x}=\dfrac{-x+12}{(x-2)x}\).
⏱️ Rituel 18⚓︎
Q1 Un article est passé de \(180\) € à \(189\) €. De quel pourcentage son prix a-t-il augmenté ?
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\(CM=\dfrac{189}{180}=1,05\), donc \(TE=1,05-1=0,05=5\,\%\).
(Ou : l'augmentation est de \(9\) € et \(\dfrac{9}{180}=\dfrac{1}{20}=5\,\%\).)
Q2 Calculer \(F=a^2-b\) lorsque \(a=\dfrac{2}{3}\) et \(b=\dfrac{1}{5}\).
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\(F=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{20}{45}-\dfrac{9}{45}=\dfrac{11}{45}\).
Q3 Écrire \(]-\infty\,;1]\cap\,]0\,;+\infty[\) sous la forme d'un intervalle.
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On cherche les réels à la fois inférieurs ou égaux à \(1\) et strictement supérieurs à \(0\) : \(]-\infty\,;1]\cap\,]0\,;+\infty[\,=\,]0\,;1]\).
Q4 Quel est le domaine de définition de l'expression \(A(x)=\dfrac{2x+1}{x+5}\) ?
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Le quotient existe si et seulement si le dénominateur est non nul : \(x+5\neq0\iff x\neq-5\).
Donc \(\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-5\}=\,]-\infty\,;-5[\,\cup\,]-5\,;+\infty[\).
⏱️ Rituel 19⚓︎
Q1 Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(4(x+1)=x+7\).
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\(4(x+1)=x+7\iff4x+4=x+7\iff4x-x=7-4\iff3x=3\iff x=1\).
Donc \(\mathcal{S}=\{1\}\).
Q2 Le prix d'un article est passé de \(60\) € à \(78\) €. Par quel nombre le prix a-t-il été multiplié ?
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\(CM=\dfrac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}=\dfrac{78}{60}=\dfrac{13}{10}=1,30\).
Q3 Karine parcourt \(500\) m en \(3\) min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
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\(3\text{ min}=\dfrac{1}{20}\text{ h}\), donc en \(1\) h elle parcourt \(20\times500\text{ m}=10\,000\text{ m}=10\) km : \(v=10\) km/h.
Q4 Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels \(x\) tels que \(|x-3|\leqslant0,01\).
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On cherche les réels dont la distance à \(3\) est inférieure ou égale à \(0,01\) : \(3-0,01\leqslant x\leqslant3+0,01\).
Donc l'ensemble est \([2,99\,;3,01]\).
⏱️ Rituel 20⚓︎
Q1 Donner un encadrement décimal à \(10^{-3}\) près de \(\cos(35°)\approx0,8191520\).
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\(0,819\leqslant\cos(35°)\leqslant0,820\) (encadrement d'amplitude \(10^{-3}\)).
Q2 Simplifier \(\dfrac{1000\times7^3}{49\times10^5}\).
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\(\dfrac{1000\times7^3}{49\times10^5}=\dfrac{10^3\times7^3}{7^2\times10^5}=\dfrac{7^{3-2}}{10^{5-3}}=\dfrac{7}{10^2}=\dfrac{7}{100}=0,07\).
Q3 En appliquant \(10\,\%\) de remise sur un article, son prix diminue de \(150\) €. Quel était le prix de départ ?
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La remise de \(10\,\%\) vaut \(150\) €, donc \(\dfrac{10}{100}\times P=150\), d'où \(P=150\times10=1500\) €.
Q4 Écrire sous la forme \(ax+b\) l'expression \(\dfrac{2}{3}x+1-\dfrac{5x+1}{2}\).
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\(\dfrac{2}{3}x+1-\dfrac{5x+1}{2}=\dfrac{4x}{6}+\dfrac{6}{6}-\dfrac{3(5x+1)}{6}=\dfrac{4x+6-15x-3}{6}=\dfrac{-11x+3}{6}=-\dfrac{11}{6}x+\dfrac{1}{2}\).
⏱️ Rituel 21⚓︎
Q1 Indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel appartient \(\dfrac{150}{5}\).
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\(\dfrac{150}{5}=30\), donc le plus petit ensemble auquel appartient \(\dfrac{150}{5}\) est \(\mathbb{N}\).
Q2 Donner le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{5x+3}{5x-1}\). Donner le domaine sous forme d'une réunion d'intervalles.
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\(f(x)\) existe si et seulement si \(5x-1\neq0\).
Or \(5x-1=0\iff5x=1\iff x=\dfrac{1}{5}\).
Donc \(\mathscr{D}_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{5}\right\}=\left]-\infty\,;\dfrac{1}{5}\right[\,\cup\,\left]\dfrac{1}{5}\,;+\infty\right[\).
Q3 Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=3x+1\) et \(\mathscr{C}_f\) sa représentation graphique dans un repère. Le point \(A(-1\,;-4)\) appartient-il à \(\mathscr{C}_f\) ? Est-il au-dessus ou en dessous de \(\mathscr{C}_f\) ?
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On calcule l'image de l'abscisse de \(A\) : \(f(-1)=3\times(-1)+1=-3+1=-2\).
Or \(y_A=-4\neq-2\), donc \(A\notin\mathscr{C}_f\).
De plus \(y_A=-4<-2=f(-1)\), donc le point \(A\) est en dessous de \(\mathscr{C}_f\).
Q4 Mettre au même dénominateur \(A=\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{3}{x}\) (\(x\neq-2\), \(x\neq0\)).
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Pour \(x\neq-2\) et \(x\neq0\) : \(\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{3}{x}=\dfrac{2x}{(x+2)x}-\dfrac{3(x+2)}{x(x+2)}=\dfrac{2x-3x-6}{(x+2)x}=\dfrac{-x-6}{(x+2)x}\).
⏱️ Rituel 22⚓︎
Q1 Développer et réduire \((x+2)^2-4x(x+2)\).
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\((x+2)^2-4x(x+2)=x^2+4x+4-4x^2-8x=x^2-4x^2+4x-8x+4=-3x^2-4x+4\).
Q2 Écrire sous la forme d'une puissance d'un seul nombre : \(\dfrac{1000\times10^{4}}{10^{-3}}\).
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\(\dfrac{1000\times10^{4}}{10^{-3}}=\dfrac{10^3\times10^4}{10^{-3}}=10^{3+4+3}=10^{10}\).
Q3 Déterminer une équation en \(x\) et la résoudre. Les points \(A\), \(O\) et \(D\) sont alignés.
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Les points \(A\), \(O\), \(D\) sont alignés : l'angle plat \(\widehat{AOD}\) mesure \(180°\) et se décompose en \(\widehat{AOB}=90°\), \(\widehat{BOC}=2x\) et \(\widehat{COD}=3x\).
\(90+2x+3x=180\iff3x+2x=90\iff x=\dfrac{90}{5}=18°\).
Q4 Déterminer les valeurs de a et b en fin de script :
a = 12
b = 8 + a / 2
a = a - b / 2
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\(b=8+\dfrac{12}{2}=14\), puis \(a=12-\dfrac{14}{2}=5\).
En Python : a = 5.0 et b = 14.0.
⏱️ Rituel 23⚓︎
Q1 La fonction \(f\) est représentée ci-dessous. Donner le domaine \(D_f\) de la fonction \(f\), puis résoudre graphiquement : a. \(f(x)>0\) ; b. \(f(x)=-1\).
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\(D_f=]-3\,;4]\) (le point d'abscisse \(-3\) est exclu).
a. \(f(x)>0\) : \(\mathscr{S}=]-3\,;-2[\,\cup\,]2\,;4]\).
b. \(f(x)=-1\) : \(\mathscr{S}=\{-1\,;1\}\).
Q2 Déterminer \(x\).
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Les angles \(3x\) et \(114°\) sont supplémentaires (ils forment un angle plat), donc \(3x+114=180\).
\(3x=66\iff x=22°\).
Q3 Écrire en compréhension l'intervalle \([-8\,;3]\) sous la forme \(\{x\in\mathbb{R}\mid |x-a|\leqslant r\}\), où \(a\) et \(r\) sont des réels à déterminer.
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\(a=\dfrac{-8+3}{2}=-\dfrac{5}{2}\) et \(r=\dfrac{3-(-8)}{2}=\dfrac{11}{2}\).
Donc \([-8\,;3]=\left\{x\in\mathbb{R}\mid \left|x+\dfrac{5}{2}\right|\leqslant\dfrac{11}{2}\right\}\).
Q4 Mettre au même dénominateur \(A=\dfrac{5x}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}\) (\(x\neq2\), \(x\neq3\)).
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Pour \(x\neq2\) et \(x\neq3\) : \(A=\dfrac{5x(x-3)}{(x-2)(x-3)}-\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{5x^2-15x-3x+6}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{5x^2-18x+6}{(x-2)(x-3)}\).
⏱️ Rituel 24⚓︎
Q1 La fonction \(f\) est représentée ci-dessous. Donner \(D_f\), puis résoudre graphiquement : a. \(f(x)=0\) ; b. \(f(x)\geqslant 1\).
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\(D_f=[-4\,;3[\) (le point d'abscisse \(3\) est exclu).
a. \(f(x)=0\) : \(\mathscr{S}=\{-3\,;1\}\).
b. \(f(x)\geqslant 1\) : \(\mathscr{S}=[-2\,;0]\).
Q2 Déterminer \(x\).
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Les deux barres ont la même longueur, donc \(5x+35=2x+146\).
\(5x-2x=146-35\iff 3x=111\iff x=37\).
Q3 Un article coûte \(65\) €. Son prix diminue de \(15\,\%\). Déterminer, sans l'aide de la calculatrice, le nouveau prix.
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\(10\,\%\) de \(65\) vaut \(6,5\) et \(5\,\%\) vaut \(3,25\), donc la baisse est \(6,5+3,25=9,75\) €.
Nouveau prix : \(65-9,75=55,25\) €.
(Ou : \(65\times0,85=55,25\) €, le coefficient multiplicateur étant \(1-\dfrac{15}{100}=0,85\).)
Q4 Mettre au même dénominateur \(A=\dfrac{x+1}{x+4}+\dfrac{x}{5}\) (\(x\neq-4\)).
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Pour \(x\neq-4\) :
⏱️ Rituel 25⚓︎
Q1 On donne ci-dessous la courbe \(\mathscr{C}_g\) d'une fonction \(g\). La droite en pointillés a pour équation \(x=1\). Dresser le tableau de signes de \(g\) sur son ensemble de définition.
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\(\mathscr{D}_g=[-3\,;1[\,\cup\,]1\,;5]\) ; les zéros de \(g\) sont \(-2\) et \(3\) ; \(1\) est une valeur interdite (double barre).
\(\mathscr{C}_g\) est au-dessus de l'axe des abscisses entre \(-2\) et \(1\) et entre \(3\) et \(5\), en dessous ailleurs.
Q2 Déterminer \(x\).
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Les angles \(4x\) et \(96°\) sont supplémentaires (ils forment un angle plat), donc \(4x+96=180\).
\(4x=84\iff x=21°\).
Q3 Déterminer la valeur interdite de l'expression \(\dfrac{5x-\frac{2}{3}}{7x+1}\). Donner, sous la forme d'une réunion d'intervalles, le domaine de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{5x-\frac{2}{3}}{7x+1}\).
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\(7x+1=0\iff x=-\dfrac{1}{7}\) : la valeur interdite est \(-\dfrac{1}{7}\).
\(\mathscr{D}_f=\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{7}\right[\,\cup\,\left]-\dfrac{1}{7}\,;+\infty\right[\).
Q4 Calculer et donner le résultat le plus simple possible de \(\dfrac{-4}{\frac{3}{4}-\frac{9}{8}}\).
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\(\dfrac{3}{4}-\dfrac{9}{8}=\dfrac{6}{8}-\dfrac{9}{8}=-\dfrac{3}{8}\), donc \(\dfrac{-4}{-\frac{3}{8}}=4\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{32}{3}\).
⏱️ Rituel 26⚓︎
Q1 Parmi les termes suivants, lesquels sont similaires à \(\dfrac{2\sqrt{x}}{3}\) ?
a. \(\dfrac{\sqrt{x}}{3}\) b. \(\dfrac{2x}{3}\) c. \(-5\sqrt{x}\) d. \(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\)
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Les termes similaires ont la même partie littérale (ici \(\sqrt{x}\)).
Réponses a. (qui s'écrit \(\dfrac{1}{3}\sqrt{x}\)) et c.
Q2 Réduire l'expression suivante :
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\(A=\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{5}{6}x^2-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{2}{3}x+5+1\)
\(A=\left(\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}\right)x^2+\left(-\dfrac{3}{12}+\dfrac{8}{12}\right)x+6\)
\(A=-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{5}{12}x+6\)
Q3 Déterminer la valeur interdite de l'expression :
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Le quotient existe si et seulement si le dénominateur est non nul :
\(3x+8=0\iff 3x=-8\iff x=-\dfrac{8}{3}\).
La valeur interdite est \(-\dfrac{8}{3}\).
Q4 Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
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On calcule d'abord la différence au dénominateur : \(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{5}{12}\).
\(C=\dfrac{-5}{\frac{5}{12}}=-5\times\dfrac{12}{5}=\dfrac{-5\times12}{5}=-12\).